Zad. 1. Rozwiąż w trójkach liczb naturalnych równanie 5(xy+yz+zx) = 4xyz.
Zad. 2. Niech X będzie co najmniej trzyelementowym zbiorem o takiej własności, że dla wszystkich a i b należących do X liczba a+b√3 jest wymierna. Wykaż, że wtedy każdy element zbioru X po pomnożeniu przez √3 musi być wymierny.
Zad. 3. Dla jakich liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi równość (x–y+z)2 = x2–y2+z2?
W marcu punkty zdobył:
- 18 – Szymon Michalik, SP 3 Warszawa
Zad. 1. Bez straty ogólności załóżmy, że x≤y≤z. Jeśli x jest zerem, równanie staje się trywialne. Jeśli zaś nie jest zerem, możemy podzielić równanie stronami przez xyz, otrzymując 1/x+1/y+1/z=4/5. Lewa strona nie przekracza 3/x, toteż x=3 lub x=2. Jeśli x=3, to 1/y+1/z=7/15. Wtedy y=3 lub y=4, przy czym w żadnym z tych przypadków nie istnieje wartość z spełniająca zadane równanie.
Zatem x=2, czyli 1/y+1/z=3/10. Podobnie jak poprzednio eliminujemy wszystkie wartości y oprócz 4, 5, 6. Rozwiązanie znajdziemy dla x=2, y=4, z=20 oraz x=2, y=5, z=10.
Zad. 2. Niech X będzie co najmniej trzyelementowym zbiorem o takiej własności, że dla wszystkich a i b należących do X liczba a+b√3 jest wymierna. Wykaż, że taki zbiór nie może istnieć.
Weźmy różne x,y,z ∈ X. Wtedy x+z√3−(y+z√3)=x−y jest wymierna. Ale także z+x√3−(z+y√3)=√3(x−y). Jedyną liczbą wymierną, która po pomnożeniu przez √3 pozostaje wymierna, jest 0. Mamy więc x−y=0, co stanowi sprzeczność.
Zad. 3. Dla jakich trójek liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi równość (x–y+z)2 = x2–y2+z2?
Po przekształceniu równania otrzymamy y2–xy–yz–xz=0, czyli (y–x)(y–z)=0, zatem y=x lub y=z. Po podstawieniu w obu przypadkach równanie będzie spełnione dla każdego x lub dla każdego z. Zadana równość zachodzi zatem dla tych trójek liczb rzeczywistych, w których środkowa liczba jest równa którejś z pozostałych.
