Dodawanie i mnożenie
- Dodawanie i mnożenie są wykonalne zawsze, dla dowolnych liczb rzeczywistych. Oznacza to, że dowolne dwie liczby można dodać lub pomnożyć i wynik będzie zawsze jednoznacznie określony.
Odejmowanie
- Odejmowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych, bo nie każde dwie liczby naturalne można odjąć tak, by otrzymać naturalny wynik, np. nie da się wykonać w liczbach naturalnych odejmowania 2-7, chociaż da się wykonać odejmowanie 7-2 .
- Odejmowanie jest zawsze wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych lub rzeczywistych. Oznacza to, że możemy odjąć dowolne dwie liczby np. całkowite lub wymierne, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie również odpowiednio liczbą całkowitą lub wymierną.
Dzielenie
- Dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych lub całkowitych, bo nie każde dwie liczby naturalne lub całkowite można odjąć tak, by otrzymać naturalny lub całkowity wynik, np. nie da się wykonać w liczbach naturalnych dzielenia 3:6, chociaż da się wykonać dzielenie 6:3.
- Dzielenie przez liczby różne od zera jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych lub rzeczywistych. Oznacza to, że możemy podzielić dowolne dwie liczby np. wymierne lub rzeczywiste, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie również odpowiednio liczbą wymierną lub rzeczywistą.
- Dzielenie przez zero nie jest w ogóle wykonalne w żadnym zbiorze, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności dzielenia, np.
gdyby 3:0 = 3, to musiałoby być 3:0 = 3, a tak nie jest;
gdyby 3:0 = 0, to musiałoby być 0:0 = 3, a tak nie jest.
Podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem dzielenia 3:0. - Dzielenie liczby zero przez liczbę różną od zera jest wykonalne, a wynikiem tego działania jest zawsze zero, np. 0:3 = 0, bo 0:3 = 0.
Potęgowanie
- Potęgowanie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych (0 nie uważamy za naturalne). Oznacza to, że dowolną liczbę naturalną można podnieść do dowolnej naturalnej potęgi, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie liczbą naturalną.
- Potęgowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, bo podnosząc liczbę całkowitą do całkowitej potęgi nie zawsze otrzymamy całkowity wynik, np. 2-1 = 1/2 i to nie jest liczba całkowita.
- Podnoszenie do potęgi całkowitej jest wykonalne w liczbach wymiernych (z wyjątkiem działania 00). Oznacza to, że dowolną liczbę wymierną można podnieść do dowolnej całkowitej potęgi, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie liczbą wymierną.
- Potęgowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych, bo podnosząc liczbę wymierną do wymiernej potęgi nie zawsze otrzymamy wymierny wynik, np. 21/2 = √2 i to nie jest liczba wymierna.
- Potęgowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych, bo np. nie da się wykonać potęgowania (-1)1/2. Żaden możliwy wynik tego działania nie spełniałby własności potęgowania, np.
gdyby (-1)1/2 = 1, to musiałoby być 12 = -1, a tak nie jest.
Podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem potęgowania (-1)1/2 .
Uwaga!
- Aby wynik potęgowania był jednoznaczny wprowadzono pojęcie pierwiastka arytmetycznego, który jest zawsze dodatni, dlatego np. 41/2 = √4 to zawsze 2, nigdy (-2).
- Podnoszenie do potęgi wymiernej jest wykonalne w liczbach zespolonych, ale wynik działania nie jest jednoznaczny, tzn. wynikiem jednego potęgowania może być kilka różnych liczb zespolonych, np. 11/4 to zarówno 1, -1, i oraz (-i).
Pierwiastkowanie
- Pierwiastkowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych, bo nie każdą liczbę wymierną można spierwiastkować tak, by otrzymać wymierny wynik, np. nie da się wykonać w liczbach wymiernych pierwiastkowania [tex]\sqrt[4]{2}[/tex], chociaż da się wykonać pierwiastkowanie [tex]\sqrt{4}[/tex].
- Pierwiastkowanie stopnia parzystego nie jest wykonalne dla liczb ujemnych, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności pierwiastkowania, np.
gdyby √(-4) = -2, to musiałoby być (-2)2 = -4, a tak nie jest.
Podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem pierwiastkowania √(-4). - Pierwiastkowanie stopnia nieparzystego jest wykonalne dla wszystkich liczb rzeczywistych. Oznacza to, że możemy wyciągnąć pierwiastek stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony.
Uwagi!
- Aby wynik potęgowania był jednoznaczny wprowadzono pojęcie pierwiastka arytmetycznego, który jest zawsze dodatni, dlatego np. √4 to zawsze 2, nigdy (-2).
- Pierwiastkowanie jest wykonalne w liczbach zespolonych, ale wynik działania nie jest jednoznaczny, tzn. wynikiem jednego pierwiastkowania może być kilka różnych liczb zespolonych, np. [tex]\sqrt[4]{1}[/tex] to zarówno 1, -1, i oraz (-i).
Logarytmowanie
- Logarytmowanie nie jest wykonalne dla liczb ujemnych ani dla zera, bo żaden możliwy wynik takiego działania nie spełniałby własności logarytmowania, np.
gdyby log2(-4) = -2, to musiałoby być 2-2 = -4, a tak nie jest;
podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem logarytmowania log2(-4);
gdyby log20 = 0, to musiałoby być 20 = 0, a tak nie jest, bo 20= 1;
podobnie żadna inna liczba nie może być wynikiem logarytmowania log20.
