Zad. 1. Dane są dwa ciągi zdefiniowane rekurencyjnie:
x0=1, x1=1, xn+1=xn+2xn-1
y0=1, y1=7, yn+1=2yn+3yn-1.
Znajdź wszystkie wspólne wyrazy tych ciągów.
Zad. 2. Dane są dwie funkcje ciągłe f, g o dziedzinie i wartościach rzeczywistych. Dla każdej liczby rzeczywistej x spełniają one równanie f(g(x))=g(f(x)). Pokaż, że jeśli równość f(x)=g(x) nie jest spełniona dla żadnej liczby x, to równość f(f(x))=g(g(x)) nie zachodzi dla żadnego argumentu x.
Zad. 3. Pokaż, że jeśli suma cyfr liczby naturalnej jest równa sumie cyfr jej trzykrotności, to ta liczba musi być podzielna przez 9.
W grudniu punkty zdobyli:
- 11 – Szymon Michalik, SP 3 Warszawa,
- 6 – Urszula Kwiatkowska, SP 221 Warszawa.
Zad. 1. Rozważać będziemy reszty z dzielenia wyrazów obu ciągów modulo 8. Wyrazy pierwszego ciągu mają reszty: 1, 1, 3, 5, 3, 5, 3, 5... Reszty wyrazów drugiego ciągu to: 1, 7, 1, 7, 1, 7, 1... Okresowość w obu przypadkach można wykazać przez indukcję matematyczną. Widzimy, że jedyne wyrazy pierwszego ciągu, które możemy podejrzewać o występowanie w drugim ciągu, to x0 i x1. Istotnie x0 = x1 = y0, ale ciąg yn jest rosnący, więc żaden z jego pozostałych wyrazów nie będzie równy 1.
Zad. 2. Rozważmy funkcję h(x) = f(x)−g(x). Z założenia wiemy, że znak funkcji h jest stały (jest ciągła i nigdy się nie zeruje). A zatem f(f(x))−g(g(x)) = f(f(x))−g(g(x)) + f(g(x))−g(f(x) = f(f(x))−g(f(x)) + f(g(x))−g(g(x)) = h(f(x))+h(g(x)) też jest albo zawsze ujemna, albo zawsze dodatnia — jest więc niezerowa.
Zad. 3. Oznaczmy wspomnianą liczbę przez n. Liczba 3n jest wielokrotnością trójki, zatem suma jej cyfr (równa n) musi być podzielna przez 3. Ale w takim razie 3n jest wielokrotnością dziewiątki, więc suma jej cyfr (wciąż równa n) również. Skoro 9|n, teza zachodzi.
