W trójkąt można wpisać koło (tu oznaczone literą w;
jego promień oznaczamy r).
W powstałe naroża dalej można wpisywać kolejne koła, jak na poniższych rysunkach. Kół jest w każdym narożu nieskończenie wiele, czego już na rysunkach nie widać.
Na powyższym rysunku wszystkie trójkąty mają równe pola.
Na oko widać, że koła wpisane w te trójkąty w nie mają jednakowych pól. Powstaje pytanie, czy suma pól wszystkich kół (wpisanego w i wpisanych w kolejne naroża) jest w tych trójkątach taka sama.
Innymi słowy, czy stosunek
jest stały?
Najpierw obliczymy, jaki jest stosunek
w trójkącie równobocznymABC.
Połączmy odcinkami środki kół z punktami styczności (leżącymi na bokach trójkąta lub na innych kołach). Otrzymamy podział trójkąta na nieskończenie wiele trapezów (prostokątnych). Sprawdź, że te trapezy są podobne.
Zatem
Wystarczy więc zbadać jeden trapez, na przykład ODD'O'.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
Zauważmy, że czerwony trójkąt jest połową trójkąta równobocznego.
Stąd mamy:
Podsumowując:
Dalej wystarczy sprawdzić, czy w innych trójkątach ten stosunek jest taki sam.
Zamiast rachować, po prostu zobaczmy.
Dla trójkątów równoramiennych, których podstawa AB jest dużo, dużo większa od wysokości CD widzimy, że
niemal cały trójkąt jest podzielony na trapezy,
które są prawie prostokątami, w które 'wpisane' są dwie prawie ćwiartki kół. Stąd
Zatem dla takich trójkątów ABC, pola kół stanowią prawie /4 pola trójkąta.
Na koniec zauważmy, że 1/4 jest liczbą wymierną, a
. 11/72 nie, więc są różne i dlatego różne są liczby /4 i . 11/72.
Stąd odpowiedź:
istnieją trójkąty o tym samym polu, w których sumy pól kół są różne.
Można się zastanawiać, dlaczego przedstawiam tu tak zawiłe rozumowanie. Odpowiedź jest prosta: nie znam prostszego.
Poniżej przedstawiam inne rozwiązanie, w którym konieczna jest znajomość wzoru na sumę postępu geometrycznego.
Pomyślmy o jednokładności o środku A i skali
sA = (AO - r) / (AO + r).
W tej jednokładności obrazem punktu P jest punkt P',
obrazem punktu P' jest P'', obrazem P'' jest P''', ... .
Ta jednokładność przekształca:
- koło w na pierwsze (największe) koło naroża A,
- pierwsze koło naroża A na drugie koło naroża A,
- drugie koło naroża A na trzecie koło naroża A,
i tak dalej.
Zatem promienie kolejnych kół naroża A tworzą ciąg geometryczny o ilorazie sA.
Zatem i pola kolejnych kół naroża A tworzą ciąg geometryczny, tym razem o ilorazie sA2.
Podobnie jest z kołami w pozostałych narożach.
Stosując wzór na sumę nieskończonego postępu geometrycznego, dostajemy (Pytanie kontrolne: skąd bierze się ' -2' w liczniku ułamka?)
Otrzymany wzór można przekształcić do postaci: Można też inaczej: Można też użyć trygonometrii:
Z żadnego z powyższych wzorów nie widać od razu, czy ten iloraz jest, czy nie jest zależny od trójkąta.
Dopiero podstawienie (na przykład miar kątów do ostatniego wzoru) pozwala numerycznie stwierdzić, że iloraz ten nie jest stały.
Jak to zrobić w Geogebrze?
Wystarczy 12 poleceń. To zadziwiająco mało. A to dzięki poleceniu Ciąg, którego wartościami są obiekty (w tym wypadku jednokładne obrazy koła wpisanego w trójkąt).
Oczywiście w ten sposób nie otrzymamy nieskończenie wielu
kół (tu jedynie po 8 w narożach; można też po 28).
Do 20 IV w galerii "Pod Hugonem" w IM UWr można wziąć udział w plebiscycie publiczności na najlepszy model w konkursie matematycznego origami "Żuraw 2024".
W kwietniu odbędzie się finał LXXV Olimpiady Matematycznej, a zaraz po nim finał XXII Olimpiady Lingwistyki Matematycznej. W pierwszym wystartuje 16, a w drugim 6 uczniów z wrocławskich liceów.
Nagrodę FMW im. Kamila Duszenki za rok 2024 otrzymała Lei Chen z Uniwersytetu Maryland. Studiowała matematykę na Uniwersytecie w Pekinie, doktorat pod kierownictwem Bensona Farba obroniła na Uniwersytecie w Chicago. Jest autorką pionierskich prac na temat struktury grup klas odwzorowań powierzchnii. Jej hobby to śpiewanie, snowboard i tenis.
Ile co najmniej ścian musi mieć wielościan, by był topologicznie torusem? W roku 1977 węgierski matematyk Lajos Szilassi [wym. lojosz siloszszi] podał przykład takiego wielościanu mającego tylko 7 ścian. Są one wklęsłymi 6-kątami i każda graniczy z każdą inną.
Czy znane od wieków domino może stanowić łamigłówkowe wyzwanie? W wersji graficznej jak najbardziej. Dominograf - stosując klasyczne kamienie i zasady gry w domino, ułóż krzyż (jak na rysunku). W tej wersji ostatni kamień nie pasuje. Zacznij od nowa. Nagrodzimy pięć osób, które jako pierwsze przyślą zdjęcie rozwiązania na adres mikolaj@math.uni.wroc.pl .
niemal cały trójkąt jest podzielony na trapezy,
które są prawie prostokątami, w które 'wpisane' są dwie prawie ćwiartki kół. Stąd
Zatem dla takich trójkątów ABC, pola kół stanowią prawie 
/4 pola trójkąta.
. 11/72 nie, więc są różne i dlatego różne są liczby 
