Trójkąt prostokątny, którego boki mają długości całkowite, zwykło się nazywać pitagorejskim. Najbardziej znanym spośród pitagorejskich trójkątów jest ten o bokach 3, 4, 5.
Każdy nauczyciel docenia jego walory. Ułożono o nim wiele zadań, bo na ogół mają 'zgrabne odpowiedzi', na przykład:
- pole = . . . . . ,
- obwód = . . . . . ,
- promień okręgu wpisanego = . . . . . ,
- promień okręgu opisanego = . . . . . .
Odpowiednikiem trójkąta w przestrzeni jest czworościan, a trójkąta pitagorejskiego - czworościan pitagorejski, to znaczy
i ścianach będących trójkątami prostokątnymi.
Tylko czy taki czworościan w ogóle istnieje? Spróbujemy go znaleźć.
Rozważania będą dość trudne, choć całkiem elementarne.
Rozważmy na początek czworościan ABCD taki, że w wierzchołku C wszystkie ściany mają kąty proste, tzn.
ACB
= ACD
= BCD = 90o.
Gdy CE jest wysokością trójkąta ABC,
to DE jest wysokością trójkąta ABD
(pomyśl o płaszczyźnie CED - jest prostopadła do AB).
Zatem kąty EAD i EBD są ostre.
Kąt ADB też jest ostry (można powtórzyć powyższe rozumowanie dla wysokości CF ściany CBD).
Zatem trójkąt ABD jest ostrokątny (można to też uzasadnić, korzystając z tw. Pitagorasa).
Wniosek 1. Jeśli w czworościanie w jednym z wierzchołków wszystkie ściany mają kąty proste, to ściana przeciwległa do tego wierzchołka jest trójkątem ostrokątnym.
Wniosek 2. Nie istnieje czworościan pitagorejski, w którym w jednym z wierzchołków wszystkie ściany mają kąty proste.
Może uda się zbudować czworościan pitagorejski z samych trójkątów 3-4-5?
Zbadajmy to.
Gdyby w podstawie ABC było:
BD = 4 (nie może być =3, bo . . . . . ,
nie może być =5, bo . . . . . ),
CD = 5 (nie może być =3, bo . . . . . ,
nie może być =4, bo . . . . . ),
AD = 3 (nie może być =4, bo . . . . . ,
nie może być =5, bo . . . . . ).
Zatem kątami prostymi byłyby CBD i CAD.
Zobacz
Gdyby kąt CBD był prosty, to punkt D leżałby gdzieś nad/pod prostą BD'.
Gdyby kąt CAD był prosty, to punkt D leżałby gdzieś nad/pod prostą AD'.
Zatem D leżałby nad/pod punktem D'.
Jednak wtedy trójkąt ABD nie byłby prostokątny. Dlaczego?
Dokładniej: punkt D musiałby leżeć w przecięciu
okręgów zaznaczonych na rysunku
Z powyższych rozważań wynika:
Wniosek 3. Nie istnieje czworościan pitagorejski o ścianach 3,4,5.
Jeśli dokładnie prześledzisz powyższe rozumowanie, to zobaczysz:
Wniosek 4. Nie istnieje czworościan ABCD, w którym kąty: ACB, CBD, CAD byłyby proste i ściana ABD byłaby trójkątem prostokątnym.
Fiasko dotychczasowych poszukiwań czworościanu pitagorejskiego może być nieco deprymujące. Wszystkie powyższe rozumowania pokazują (!), że czegoś nie ma.
Nie ma pewnych szczególnych czworościanów o ścianach będących trójkątami prostokątnymi.
Może nie ma żadnych czworościanów o ścianach będących trójkątami prostokątnymi?
Nie jest tak źle. Zobacz obok.
Czworościan ABCD jest wycięty z prostopadłościanu 3×4×h. Wszystkie jego ściany są trójkątami prostokątnymi.
Ale czy jest to czworościan pitagorejski?
Czy można tak dobrać h = AD, aby wszystkie jego krawędzie były całkowite?
Niestety nie. Sprawdź!
Zauważ, że BD > CD. Dlaczego?
Ponadto różnica długości tych krawędzi jest równa
A różnica mniejsza od 1 oznacza, że nie mogą to być dwie liczby całkowite!
Czas wreszcie na jakiś sukces!
Czworościan wycięty (jak powyższy) z prostopadłościanu 104 × 153 × 673 jest pitagorejski.
Dokładniej: czworościan ABCD, w którym
Można to sprawdzić za pomocą twierdzenia Pitagorasa (a raczej twierdzenia do niego odwrotnego).
Uroda tego czworościanu jest niemała. Oblicz:
- pole powierzchni całkowitej,
- objętość,
- promień kuli wpisanej w czworościan,
- promień kuli opisanej na czworościanie.
Trójkątów pitagorejskich o różnych kształtach (tzn. niepodobnych) jest dość sporo (podaj kilka przykładów), a czworościanów pitagorejskich nie ma dużo. Istnieją tylko dwa niepodobne czworościany pitagorejskie o krawędziach długości mniejszej niż 1000. Jeden właśnie opisaliśmy.
Ten drugi ma krawędzie o długościach: 520, 117, 756, 533, 765, 925, dokładniej:
Jak sprawdzić, że faktycznie nie ma innych?
Po pierwsze: należy pokazać, że w czworościanach pitagorejskich kąty proste ścian są rozłożone tak, jak na rysunku obok. (Trzeba wykluczyć inne układy, podobnie jak we wnioskach 1-4. Pomijamy tutaj te żmudne rozważania.)
Po drugie: należy rozwiązać w liczbach naturalnych, mniejszych od 1000 układ równań:
W efekcie dostajemy dwa (niepodobne) czworościany opisane powyżej.
